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さーくる⑨

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Smithじゃない人出題。

VISIONも、トランプも、他のTCGも、プレイヤーによってゲーム自体の評価が落ちるのは良くないと思うんですよね。
まあ、トランプについては、海外と日本で、賭けに対する認識が違うことをは知ってるから、アレですけど。
プレイヤーもマナー良くないとね。

以下の問いに答えよ。

  1. $\frac{\sqrt{3}}{2}$が無理数であることを示せ。
  2. $\cos 2 \theta , \cos 3 \theta$を$\cos \theta$の整式で表せ。
  3. $\cos n \theta$が$\cos \theta$の$n$次式で表すことができることを示せ。ただし$n$は自然数とする。
  4. $\cos 1^{\circ}$が無理数であることを示せ。
解答は追記で。

解答
(1) 背理法を用いる。$\frac{\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{Q}$と仮定して、$p, q \in \mathbb{Z}$を用いて、$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{p}{q}$と書けるとする。この式を変形して、 \[ \begin{align*} \sqrt{3} p &= 2q \\ 3p^{2} &= 2^{2} q^{2} \end{align*} \] を得る。ここで両辺を素因数分解したとき、右辺の$3$の指数は偶数であるが、左辺の$3$の指数は奇数になる。これは矛盾である。
したがって仮定は誤りで、$\frac{\sqrt{3}}{2} \notin \mathbb{Q}$である。
(2) \[ \begin{align*} \cos 2 \theta &= 1 - 2 \cos^{2} \theta \\ \cos 3 \theta &= 4 \cos^{3} \theta - 3 \cos \theta \end{align*} \] (3) 数学的帰納法を用いる。$n = 1, 2, 3$で命題が成立するのは(1)より明らか。
$n = k, k + 1$で命題が成立すると仮定した場合、(ただし$k \in \mathbb{N}$) \[ \begin{align*} \cos ( k + 2 ) \theta &= \cos ( k + 1 ) \theta \cos \theta - \sin ( k + 1 ) \theta \sin \theta \\ &= \cos ( k + 1 ) \theta \cos \theta + \frac{1}{2} ( \cos ( k + 2) \theta - \cos k \theta ) \\ \frac{1}{2} \cos ( k + 2 ) \theta &= \cos ( k + 1 ) \theta \cos \theta - \frac{1}{2} \cos k \theta \\ \therefore \quad \cos ( k + 2 ) \theta &= \underbrace{2 \cos ( k + 1 ) \theta \cos \theta}_{\text{$\cos \theta$の$k + 2$次式}} - \underbrace{\cos k \theta}_{\text{$\cos \theta$の$k$次式}} \end{align*} \] より、$\cos ( k + 2 ) \theta$は$\cos \theta$の$k + 2$次式で表すことができる。したがって全ての$n \in \mathbb{N}$で$\cos n \theta$は$\cos \theta$の$n$次式で表せる。
(4)背理法を用いる。(2)(3)より$\cos n \theta$を$\cos \theta$の$n$次式で表したら、有理係数の$n$次式となる。したがって、$\cos 1 ^{\circ} \in \mathbb{Q}$と仮定すると、$\cos 30 ^{\circ} \in \mathbb{Q}$となるが、$\cos 30 ^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \notin \mathbb{Q}$ ( $\because$ (1) )に矛盾する。したがって仮定は誤りで、$\cos 1 ^{\circ} \notin \mathbb{Q}$である。

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さーくる⑨杯: 予定

  1. 2018年3月3日にさーくる⑨幻視杯ノ伍 於富山を予定。
  2. 2018年3月3日にさーくる⑨星詠会ノ弐 於富山を予定。
さーくる⑨杯は幻視杯、星詠会いずれもしばらく半年に1回ペースで開催を続ける予定です。

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