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さーくる⑨

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豊聡耳 神子

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また数学の問題つくったの。

漸化式 \[ a_{n+1} = \frac{2a_{n}}{1-{a_{n}}^{2}} \ \ (n = 1, 2, 3, \dots ) \] を満たす数列$\{ a_{n} \}$について、$a_{1} = \tan \frac{\pi}{2016}$であるとする。このとき、$k$がある数以上の自然数であれば、$a_{k + l} = a_{k}$を満たす自然数$l$が存在することを示し、最小の自然数$k, l$の値を求めよ。
Smithじゃない人オリジナル問題。
解答は追記で。
解答
数列$\{ x_{n} \}$を、$a_{n} = \tan x{_n}$で定める。
漸化式より、 \[ \begin{eqnarray} \tan x_{n + 1} & = & \frac{2 \tan x_{n}}{1 - \tan ^{2} x_{n}} \\ & = & \tan 2x_{n} \end{eqnarray} \] であるから、$x_{n+1} = 2x_{n}$であり、$x_{1} = \frac{\pi}{2016}$より$x_{n} = \frac{\pi}{2016} \cdot 2^{n-1}$である。
一方で、$a_{k} = a_{k + l}$が成り立つとき、$\tan x_{k} = \tan x_{k + l}$が成立しているから、$m \in \mathbb{N}$として、$x_{k + l} = x_{k} + m \pi$が成り立つ。
したがって、 \[ \begin{eqnarray} \frac{\pi}{2016} \cdot 2^{k + l - 1} & = & \frac{\pi}{2016} \cdot 2^{k - 1} + m \pi \\ \frac{\pi}{2016} \left( 2^{k + l - 1} - 2^{k - 1} \right) & = & m \pi \\ \frac{2^{k - 1}}{2016} \left( 2^{l} - 1 \right) & = & m \\ \frac{2^{k - 6}}{63} \left( 2^{l} - 1 \right) & = & m \end{eqnarray} \] である。ここで、$k \ge 7$のとき$2^{k - 6}$が偶数であること、$63$が奇数であること、$l \ge 1$であるから$2^{l} - 1$が奇数であることに留意すれば、上式を満たす最小の自然数$k, l$の値は、$k = l = 6$であることがわかる。
逆に、$k = l = 6$であるとき、$a_{k + l} = a_{k}$が成り立つ。$\Box$
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さーくる⑨杯: 予定

  1. 2017年9月2日にさーくる⑨幻視杯ノ肆 於富山を予定。
  2. 2017年9月3日にさーくる⑨星詠会ノ壱 於富山を予定。
さーくる⑨杯は幻視杯、星詠会いずれもしばらく半年に1回ペースで開催を続ける予定です。

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