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スミスガスシオゴリチャンス!

先日ツイッターで出題した問題と解答です。
ささっと簡略バージョンを。後に追記します。


単位はSIを用いる。以下の問いに答えよ。
質量$ m $の寿司が、質量$ M $のイルスを中心に、半径$ r $の円軌道を一定の速さ$ v $で円運動をしている。万有引力定数を$ G $とする。また、イルスは動かないものとする。
(1)寿司の円運動の周期$ T $を、$ M , r , G $を用いて表せ。
(2)寿司の持つ運動エネルギーを$ K $とする。無限遠を基準とした、寿司の持つ万有引力による位置エネルギー$ U $を$ K $を用いて表せ。
(3)イルスが念力でその場からシャリだけを食べた。残った質量$ \frac {m} {2} $のネタの、その後の運動について述べよ。


(1)
\[ \begin{eqnarray} 向心力F & = & [万有引力] \\
& = & G \frac {mM} {r^2} \end{eqnarray} \]
一方で$ F = m \frac {v^2} {r} $
したがって、\[ \begin{eqnarray} G \frac {mM} {r^2} & = & m \frac {v^2} {r} \\
v & = & \sqrt{ \frac {GM} {r} } \end{eqnarray} \]
であり、軌道の周は$ 2 \pi r $に等しいから、\[ \begin{eqnarray} T & = & \frac {2 \pi r} {v} \\
T & = & 2 \pi r \sqrt{ \frac {r} {GM} } \end{eqnarray} \]

(2)
\[ \begin{eqnarray} K & = & \frac {1} {2} mv^2 \\
U & = & -G \frac {mM} {r} \end{eqnarray} \]
(1)より$ v = \sqrt{ \frac {GM} {r} } $を代入して、
\[ K = \frac {1} {2} \cdot G \frac {mM} {r} \]
したがって、
\[ U = -2K \]

(3)
質量保存の法則より、イルスの質量は、$ M + \frac {m} {2} $に増加する。
ネタに働く力は、イルスとネタとの距離を$ s $とすると、イルスを中心とする中心力$ f = G \frac { \frac {m} {2} (M+ \frac {m} {2} ) } {s^2} $のみである。したがって、ケプラーの第一法則(楕円軌道の法則)、ケプラーの第二法則(面積速度一定の法則)から、ネタはイルスを焦点のひとつとする楕円軌道上を運動する。
これについては、角運動量保存則、力学的エネルギー保存則を用いて、さらに詳しく考察し、ネタの近イルス点、遠イルス点を求めることができるが、$ {\rm \LaTeX } $初心者の私がすぐにかけるような量の論述ではないため、後日追記することにする。
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さーくる⑨杯: 予定

  1. 2018年3月3日にさーくる⑨幻視杯ノ伍 於富山を予定。
  2. 2018年3月3日にさーくる⑨星詠会ノ弐 於富山を予定。
さーくる⑨杯は幻視杯、星詠会いずれもしばらく半年に1回ペースで開催を続ける予定です。

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